«deux textes très courts», segunda parte, de Jean Michel Vappereau

Le contenu

Nous trouvons ce fragment dans un ouvrage de Logique mathématique d'un philosophe français qui a su apprécier très tôt les travaux et les découvertes arithmétiques de G. Boole en matière de syllogistique aristotélicienne, allant jusqu'à présenter cette algèbre de la logique sous l'aspect axiomatique d'un treillis de Boole. Mais ceci est une autre question qui viendra plus loin.

Pour l'instant, lisons :

"Interprétation Conceptuelle (I. C.) : La relation a < b , où a et b désignent des concepts, signifie que le concept a est subsumé sous le concept b, c’est à dire est une espèce par rapport au genre b.

Au point de vue de l’extension, elle signifie que la classe des a est contenu dans la classe des b ou en fait partie ; ou, plus brièvement, que « tout a est b ».

Au point de vue de la compréhension, elle signifie que le concept b est contenu dans le concept a ou en fait partie, que, par suite, le caractère a implique ou entraîne le caractère b.

Exemple : « tout homme est mortel » ; « homme implique mortel » ; « qui dit homme dit mortel » ; ou plus simplement « homme, donc mortel ».

Interprétation Propositionnelle (I. P.) : La relation a < b , où a et b désignent des propositions, signifie que la proposition a implique ou entraîne la proposition b, ce qu'on exprime souvent par ce jugement hypothétique : « Si a est vrai, b est vrai » ; ou par : « a implique b » ; ou plus simplement par : « a, donc b ». On voit que dans les deux interprétation la relation < peut se traduire approximativement par donc.

Remarque. ⎯ Quelle que soit l'interprétation des termes a et b, une relation « a < b » est une proposition .

Louis Couturat L'Algèbre de la Logique (1905)

édition Librairie Albert Blanchard 1980 p. 5

Présentation de cette curiosité logique ou de ce mystère

Le lecteur notera que dans la seule Interprétation Conceptuelle (I. C.)

- du point de vue de l’extension

la classe des a est contenu dans la classe des b"

- du point de vue de la compréhension

"le concept b est contenu dans le concept a"

Désignerons cette inversion, produite dans la lecture, comme une involution, ici parfaitement justifiée puisqu'elle se produit dans le passage des classes d'extensions des concepts aux concepts eux mêmes qui se correspondent mutuellement et sont transcrit par la même lettre dans chaque cas, le cas de a et le cas de b.

Explications du mystère

L'interprétation conceptuelle (I. C.) suppose que a et b soient des concepts.

Adoptons alors l'écriture proposée par Frege des concepts en tant que fonctions propositionnelles.

a et b s'écrivent alors respectivement a(x) et b(x).

et prenons un exemple de tels concepts en tant que composés de concepts plus élémentaires parmi les trois concepts P(x), Q(x), et R(x).

Ainsi, le choix de

a(x) = [P(x) ∧ Q(x) ∧R(x)] et b(x) = [P(x) ∧ Q(x)]

nous fourni un cas qui vérifie la relation d'ordre

a(x) < b(x)

dont voici le diagramme à la manière de Euler Venn.

 

Où il est lisible dans le diagramme que

- du point de vue de l'extension, la classe des a(x) est bien plus petite et contenue dans l'extension de la classe des b(x)

- du point de vue de l'écriture explicite, l'énoncé du concept a(x) tel que a(x) = [P(x) ∧ Q(x) ∧R(x)] contient bien l'énoncé du concept b(x) en tant que b(x) = [P(x) ∧ Q(x)].

Ainsi l'énoncé b(x) = [P(x) ∧ Q(x)] est en effet plus petit cette fois, ou plus court, en tant qu'énoncé que l'énoncé a(x) = [P(x) ∧ Q(x) ∧R(x)] qui le contient de cette manière.

Le mystère devient énigme

On se demande alors pourquoi ne pas expliquer qu'il s'agit à propos du concept par opposition à sa classe d'extension de son écriture? Parce que les logiciens de cette époque ne considèrent pas qu'il s'agit d'écriture mais d'une supposée compréhension. Ici reste une trace

du psychologisme dénoncé par Frege jusque chez Husserl et dont Wiener montrera à B. Russell l'aspect erroné grâce à son analyse de la paire ordonnée en théorie des ensembles.

"La Logique est une bonne lessive" qui fait disparaître sa matérialité d'écriture effective pour la remplacer par des nuées psychologiques.

 

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Remarque. ⎯ Quelle que soit l'interprétation des termes a et b, une relation « a < b » est une proposition .

Par conséquent, lorsqu'une relation notée : <, a pour membres deux relations semblables (ou même une seule), elle ne peut recevoir que l'interprétation propositionnelle, c'est à dire, elle ne peut signifier qu'une implication.

On appelle une proposition primaire toute relation dont les membres sont des termes simples (des lettres); proposition secondaire toute relation dont les membres sont des propositions primaires ; et ainsi de suite.

On voit par là, dés maintenant, que l'interprétation propositionnelle est plus homogène que l'autre, puis que seule elle permet de donner le même sens à la copule < dans les propositions primaires et secondaires."

Louis Couturat L'Algèbre de la Logique (1905)

édition Librairie Albert Blanchard 1980 p. 6